Mutación (álgebra)

En la teoría de álgebras sobre un cuerpo, la mutación es una construcción de una nueva operación binaria relacionada con la multiplicación del álgebra. En casos específicos, se refiere al álgebra resultante como un homótopo o un isótopo del original.

Definiciones[editar]

Deja a $A$ ser un álgebra sobre un cuerpo $F$ con multiplicación (sin asumir que sea asociativa) denotada por yuxtaposición. Por un elemento $a$ de $A$ , defina al homótopo- $a$ izquierdo como una álgebra con multiplicación.

x*y=(xa)y

Similarmente define la mutación $(a,b)$ izquierda $A(a,b)$

x*y=(xa)y-(yb)x

El homótopo derecho y la mutación es definida análogamente. Ya que la mutación $(p,q)$ derecha de $A$ es la mutación $(-q,-p)$ izquierda del álgebra opuesta hacia $A$ , es suficiente para estudiar las mutaciones izquierdas.^[1]

Si $A$ es un álgebra unital y $a$ es invertible, nos referimos al isótopo por $a$ .

Propiedades[editar]

Si $A$ es asociativa, entonces también lo es cada homótopo de $A$ , y cada mutación de $A$ es Lie-admisible.
Si $A$ es alternativa, entonces también lo es cada homótopo de $A$ , y cada mutación de $A$ es Máltsev-admisible.
Cada isótopo de un álgebra de Hurwitz es isomórfico al original.^[1]
Un homótopo de una álgebra de Bernstéin por un elemento cuya masa no sea cero es nuevamente una álgebra de Bernstéin.^[2]

Álgebra de Jordan[editar]

Un álgebra de Jordan es un álgebra conmutativa que sasisface la identidad de Jordan $(xy)(xx)=x(y(xx))$ . El triple producto de Jordan está definido por

\{a,b,c\}=(ab)c+(cb)a-(ac)b

Para $y$ en $A$ la mutación^[3] o homótopo^[4] $A^{y}$ está definido como el espacio vectorial $A$ con multiplicación

a\circ b=\{a,y,b\}

y si $y$ es invertible, se refiere a este como un isótopo. Un homótopo de un álgebra de Jordan es nuevamente un álgebra de Jordan, ya que la isotopía define una relación equivalente.^[5] Si $y$ es nuclear, entonces el isótopo por $y$ es isomórfico al original.^[6]

Referencias[editar]

↑ ^a ^b Elduque, Alberto; Myung, Hyo Chul (1994). Mutations of alternative algebras (en inglés). Springer. p. 34. ISBN 978-9-401-58279-7.
↑ González, S. (1992). «Homotope algebra of a Bernstein algebra». En Myung, Hyo Chul, ed. Proceedings of the fifth international conference on hadronic mechanics and nonpotential interactions, held at the University of Northern Iowa, Cedar Falls, Iowa, USA, August 13–17, 1990. Part 1: Mathematics (en inglés). Nueva York, Estados Unidos: Nova Science Publishers. pp. 149-159.
↑ Koecher, Max (1999). The Minnesota Notes on Jordan Algebras and Their Applications (en inglés). Springer. ISBN 3-540-66360-6.
↑ McCrimmon, Kevin (2004). «Jordan Algebras in the Enlightenment: Finite-Dimensional Jordan Algebras over General Fields» (PDF). A Taste of Jordan Algebras (en inglés). Springer. p. 76. ISBN 978-0-387-21796-3.
↑ McCrimmon, Kevin (2004). «Jordan Algebras in the Enlightenment: Finite-Dimensional Jordan Algebras over General Fields» (PDF). A Taste of Jordan Algebras (en inglés). Springer. p. 71. ISBN 978-0-387-21796-3.
↑ McCrimmon, Kevin (2004). «Jordan Algebras in the Enlightenment: Finite-Dimensional Jordan Algebras over General Fields» (PDF). A Taste of Jordan Algebras (en inglés). Springer. p. 72. ISBN 978-0-387-21796-3.

Bibliografía[editar]

Elduque, Alberto; Myung, Hyo Chul (1994). Mutations of Alternative Algebras. Mathematics and Its Applications (en inglés) 278. Springer. ISBN 0792327357.
Jacobson, Nathan (1996). Finite-dimensional division algebras over fields (en inglés). Springer. ISBN 3-540-57029-2.
Koecher, Max (1999). Krieg, Aloys; Walcher, Sebastian, eds. The Minnesota Notes on Jordan Algebras and Their Applications. Lecture Notes in Mathematics (en inglés) 1710. Springer. ISBN 3-540-66360-6.
McCrimmon, Kevin (2004). A taste of Jordan algebras. Universitext (en inglés). Springer. ISBN 0-387-95447-3. doi:10.1007/b97489.
Okubo, Susumo (1995). Introduction to Octonion and Other Non-Associative Algebras in Physics. Montroll Memorial Lecture Series in Mathematical Physics (en inglés). Cambridge University Press. ISBN 0-521-47215-6.

Datos: Q30906495

[elduque-1] Elduque, Alberto; Myung, Hyo Chul (1994). Mutations of alternative algebras (en inglés). Springer. p. 34. ISBN 978-9-401-58279-7.

[2] González, S. (1992). «Homotope algebra of a Bernstein algebra». En Myung, Hyo Chul, ed. Proceedings of the fifth international conference on hadronic mechanics and nonpotential interactions, held at the University of Northern Iowa, Cedar Falls, Iowa, USA, August 13–17, 1990. Part 1: Mathematics (en inglés). Nueva York, Estados Unidos: Nova Science Publishers. pp. 149-159.

[koecher-3] Koecher, Max (1999). The Minnesota Notes on Jordan Algebras and Their Applications (en inglés). Springer. ISBN 3-540-66360-6.

[4] McCrimmon, Kevin (2004). «Jordan Algebras in the Enlightenment: Finite-Dimensional Jordan Algebras over General Fields» (PDF). A Taste of Jordan Algebras (en inglés). Springer. p. 76. ISBN 978-0-387-21796-3.

[5] McCrimmon, Kevin (2004). «Jordan Algebras in the Enlightenment: Finite-Dimensional Jordan Algebras over General Fields» (PDF). A Taste of Jordan Algebras (en inglés). Springer. p. 71. ISBN 978-0-387-21796-3.

[6] McCrimmon, Kevin (2004). «Jordan Algebras in the Enlightenment: Finite-Dimensional Jordan Algebras over General Fields» (PDF). A Taste of Jordan Algebras (en inglés). Springer. p. 72. ISBN 978-0-387-21796-3.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]